13．回転する剛体を有する系の振動
13.1 回転機械の不釣り合い
図13-1は，三菱重工長崎造船所史料館に展示されている破損したタービンの一部で，過去の教訓として一般展示されており，誰でも見ることができる．（史料館資料注釈：”スペイン向けタービンローター破片” 昭和47年（1970）高速回転中の50tの大型タービンローターが破裂するというタービン史上に残る自己を経験した．破裂の起点と疲労破壊を破壊を含む破片を回収し展示されてある．破壊力学上貴重な資料であり材料強度にたずさわる者にとって必見の価値がある．この事故によって日本のローター製造技術は飛躍的に改善された．また，これを契機として引き続きスペイン向け30MW10台を含む26台のタービンを受注した．当所，大型タービンの輸出はこれよりスタートし，今日の全世界への輸出拡大を招来した．）
図13-1 破損したタービンローター（三菱重工長崎造船所）
Question 1：物体を回転させると振動が生じるのは何故？
図13-2は，発電用タービンの外観と実際に中国電力小野田発電所で使用されている550MW用の火力発電用タービン翼の例である．このクラスのタービンは蒸気を送り込み，軸回りに3000rpm程度で定常的に回転させ，その回転を発電機に繋ぎ電力を供給する仕組みとなっている．真夏や真冬に発生する電力量の激増等への対応や使用電力の変化に対応して，蒸気の流量調節が必要となり，その大元となる燃焼状態の変化は避けられないため燃焼に伴う変動が現れる場合もあり，回転に伴う振動だけでなく燃焼や流動に起因した振動なども発生する．24時間365日に亘って安定的に回転させ，エネルギー供給をごくごく普通に実現しているが，そこには様々な基礎となる技術の積み重ねがある．
(a) タービン概観 (b) タービン翼列
図13-2 発電用タービンとタービン翼列
Question 2：円形断面物体がその中心軸回りに回転する場合でも振動が起こるのは何故？
工作物には，幾何公差とよばれるものが必ず存在し，静的な場合にはさほど問題にならない場合でも，運動を始めると大きな問題を起こす可能性を有するものが数多く存在する．図13-3にその例を示す．断面が円形状のもの，例えば，回転軸を加工する場合，軸方向にまっすぐ加工する（削る），円周方向に軸中心から同じ半径で一回転加工する場合，必ず，目標とする値からのずれが生じるのが常である．従って，組立の際には，寸法公差を設定し，組合せの状況に応じてはめ合い等の決まりを設計図面上に提示する．
図13-3 工作物の幾何公差の例
形状が円形断面物体，円筒状物体が中心軸回りに回転する場合の特性を調べるためのモデルの例を図13-4に示す．これは一般的な回転体（ローター）の運動を考える際のモデルで，回転中心Oから重心位置Gは$\bar{OG}=a$だけわずかにずれており，これが角速度$\Omega$で回転していると考える．$a$は”偏心距離”と呼ばれ，回転体の質量と共にこの系に発生する振動現象と係わりをもつものである．
図13-4 重心位置が回転軸と一致しない場合の回転運動モデル
回転軸である点Oにおいて，作用する力を図12-5に示すように$F_x$，$F_y$とし，重心位置$(x,y)$を用いた回転体の運動方程式を考える．Newtonの第二法則より
\begin{eqnarray*}
&& m\ddot{x} = F_x \\
&& m\ddot{y} = F_y
\end{eqnarray*}
ここで，角速度$\omega$で定常回転しているとし，回転角の基準位置を$x$軸にとると，$x$，$y$座標は，時間$t$の関数として次式のように表すことができる．
\begin{eqnarray*}
&& x = a\cos\omega t \\
&& y = a\sin\omega t
\end{eqnarray*}
よって，時間で二回微分すると
\begin{eqnarray*}
&& \ddot{x} = -a\omega^2\cos\omega t \\
&& \ddot{y} = -a\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
となるので，運動方程式より，軸から
\begin{eqnarray*}
&& F_x = -ma\omega^2\cos\omega t \\
&& F_y = -ma\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
の力を受けて角速度$\omega$で定常回転していることになる．この反力が回転軸に作用していることになり
\begin{eqnarray*}
F=\sqrt{F_x^2+ F_y^2} = ma\omega^2
\end{eqnarray*}
なので，合成した力は一定の力（遠心力）が作用するが，水平方向（$x$方向），垂直方向（$y$方向）には周期的に変動する力となることが分かる．
この力は，$ma$と$\omega$で表現できるので，点Oに対する重心Gの位置をベクトル量で表現して，不釣り合い量，あるいは，不釣り合いベクトル
\begin{eqnarray*}
m\mathbf{a}
\end{eqnarray*}
を定義することができる．
図13-5 回転体の回転軸に発生する力
13.2 回転体（ロータ）の不釣り合いによる強制振動
図13-6に示すように左右を拘束し，全体質量が$M$の物体がばね定数$k$のばねと粘性減衰係数$c$のダシュポットで支持され，上下方向の運動のみ現れる振動系を考える．全体質量に含まれる不釣り合い質量$m$を考え，不釣り合い量を$ma$とし，定常回転的な回転角速度を$\omega$とする．不釣り合い質量$m$の重心位置の$y$方向の相対変位$y_r$は，水平方向を基準位置とすると$y_r=a\sin\omega t$となるので，絶対変位は$y+y_r=y+a\sin\omega t$となる．
図13-6 回転体の不釣り合いにより生じる１自由度粘性減衰系の強制振動モデル
不釣り合い質量と残りの質量部に対してFree-body Diagramを描くと図13-7のようになる．ここで，
\begin{eqnarray*}
&& f_k = ky \\
&& f_c = c\dot{y}
\end{eqnarray*}
となるので，不釣り合い部と残りの質量部，それぞれに対する運動方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray*}
&& m\frac{d^2}{dt^2}\left(y+y_r\right) = F_y \\
&& \left(M-m\right)\ddot{y} = -F_y - f_k - f_c = -F_y - ky - c\dot{y}
\end{eqnarray*}
両者を加えて，内力の$F_y$を消去すると次式を得る．
\begin{eqnarray*}
M\ddot{y} + c\dot{y} + ky = -m\ddot{y}_r = ma\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
$M$で両辺を割り，$p=\sqrt{\frac{k}{M}}$，$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{Mk}}$と置くと次式となる．
\begin{eqnarray*}
\ddot{y} + 2\zeta p\dot{y} + p^2y = \frac{m}{M}a\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
図13-7 回転体の不釣り合いによる１自由度粘性減衰系のFree-body Diagram
定常応答を仮定して
\begin{eqnarray*}
y = A\cos\omega t + B\sin\omega t
\end{eqnarray*}
とおき，未定係数$A$，$B$を求める．即ち，運動方程式に上式を代入して整理すると，
\begin{eqnarray*}
\left(p^2-\omega^2\right)\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right) + 2\zeta p\omega\left(-A\sin\omega t + B\cos\omega t\right) = \frac{m}{M}a\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
よって，
\begin{eqnarray*}
\cos\omega t\left[\left(p^2-\omega^2\right)A +2\zeta p\omega B\right] + \sin\omega t\left[-2\zeta p\omega A + \left(p^2-\omega^2\right)B - \frac{m}{M}a\omega^2\right] = 0
\end{eqnarray*}
即ち，次の行列方程式を得る．
\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{cc}
p^2-\omega^2 & 2\zeta p\omega \\
-2\zeta p\omega & p^2-\omega^2
\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} A \\B
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}
0 \\ \frac{m}{M}a\omega^2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore \left[ \begin{array}{c} A \\B
\end{array}\right] &=&
\frac{1}{\left(p^2-\omega^2\right)^2+\left(2\zeta p\omega\right)^2}
\left[\begin{array}{cc}
p^2-\omega^2 & -2\zeta p\omega \\
2\zeta p\omega & p^2-\omega^2
\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}
0 \\ \frac{m}{M}a\omega^2
\end{array} \right] \\
&=&
\frac{\frac{m}{M}a\omega^2}{\left(p^2-\omega^2\right)^2+\left(2\zeta p\omega\right)^2}
\left[\begin{array}{c}
-2\zeta p\omega \\ p^2 -\omega^2
\end{array} \right] = \frac{a\frac{m}{M}\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}
\left[\begin{array}{c}
-2\zeta \frac{\omega}{p} \\ 1 -\left(\frac{\omega}{p}\right)^2
\end{array} \right]
\end{eqnarray*}
従って，この系の定常応答は次のように表現できる．
\begin{eqnarray*}
y &=& \frac{a\frac{m}{M}\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}
\left[-2\zeta \frac{\omega}{p}\cos\omega t +\left\{1 -\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}\sin\omega t\right] \\
&=& \frac{a\frac{m}{M}\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}}
\sin\left(\omega t-\varphi\right)\text{, }\tan\varphi = \frac{2\zeta\frac{\omega}{p}}{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}
\end{eqnarray*}
13.3 回転体（ロータ）の振れ回り振動
図13-8に示すように点Oを中心に角速度$\omega$で回転するロータを考える．回転軸には軸受が存在し，軸の弾性変形を含め弾性変形と減衰的な特性を考えることができるので，垂直方向，および，水平方向にそれぞればね定数$k$と粘性減衰係数$c$のダシュポットの並列系で支持されているものと仮定する．よって，軸の回転中心Oが図に示す$(X,Y)$座標系において，それそれ$x$，$y$変位すると仮定すると，対応する方向の逆方向に
\begin{eqnarray*}
&& f_X = kx + c\dot{x} \\
&& f_Y = ky + c\dot{y}
\end{eqnarray*}
の力が作用することになる．ここで，ロータ重心Gの位置は，$X$軸方向を基準位置に取ると
\begin{eqnarray*}
&& X = x + a\cos\omega t \\
&& Y = y + a\sin\omega t
\end{eqnarray*}
となるので，次の運動方程式を得る．
\begin{eqnarray*}
&& m\ddot{X} = m\left(\ddot{x} - a\omega^2\cos\omega t\right) = -f_X = -kx-c\dot{x} \\
&& m\ddot{Y} = m\left(y - a\omega^2\sin\omega t\right) = -f_Y = -ky - c\dot{y}
\end{eqnarray*}
整理すると次式となる．
\begin{eqnarray*}
&& m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = ma\omega^2\cos\omega t
&& m\ddot{y} + c\dot{y} + ky = ma\omega^2\sin\omega t
\end{eqnarray*}
よって，第２式に虚数単位$i$をかけて両式を加える．
\begin{eqnarray*}
m\left(\ddot{x} + i\ddot{y}\right) + c\left(\dot{x}+i\dot{y}\right) + k\left(x+iy\right) = ma\omega^2\left(\cos\omega t+i\sin\omega t\right)
\end{eqnarray*}
従って，$z=x+iy$と置くと次式となる．
\begin{eqnarray*}
m\ddot{z}+ c\dot{z} + kz = ma\omega^2e^{i\omega t}
\end{eqnarray*}
よって，定常応答を仮定して
\begin{eqnarray*}
z = Z_0e^{i\omega t}
\end{eqnarray*}
を上式に代入する．
\begin{eqnarray*}
\left(-m\omega^2 + ic\omega + k\right)Z_0 = ma\omega^2 \\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\therefore Z_0 &=& \frac{ma\omega^2}{k-m\omega^2 + ic\omega} = \frac{a\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2 + 2i\zeta\frac{\omega}{p}} \\
&=& \frac{a\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2 + \left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}
\left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\} - i\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)\right]
\end{eqnarray*}
よって，
\begin{eqnarray*}
z &=&\frac{a\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2 + \left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}
\left[\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\} - i\left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)\right]e^{i\omega t} \\
&=&\frac{a\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}{\sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2\right\}^2 + \left(2\zeta\frac{\omega}{p}\right)^2}} e^{i\left(\omega t - \varphi\right)}
\text{, }\varphi = \tan^{-1}\frac{2\zeta\frac{\omega}{p}}{1-\left(\frac{\omega}{p}\right)^2}
\end{eqnarray*}
これまで調べてきた系と同様の特性となるので，$\zeta \le \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$z$は，ある回転角速度（固有角振動数近く）で応答振幅が最大となる．この時の回転するを危険回転数，あるいは，危険速度という．
図13-8 ばねとダシュポットで支持された回転体モデル
13.4 演習
(1) 可変速のモータを図13-9に示すように支持台の上に載せたとき，その静的なたわみは，$100$mmであった．モータには不つりあいがあるものとし，この不つりあいによって基礎に伝わる力を，基礎にモータを直接ボルト止めしたときの$1/35$にするには，モータの回転を毎分いくらにすべきか．ただし，支持台の質量は無視できるとする．
図13-9 支持台におかれた可変速モータの振動
(2) 質量$500$kgの回転機械を$10^5$N/mのばね定数を有するばねでささえる．この機械が$2\times10^{-2}$kgmの回転不釣り合いをもつとき，回転数$20$s$^{-1}$における振動振幅はいくらか．ただし$\zeta=0.1$とする．